Мирослав ЋИРИЋ: АЛГЕБАРСКО НАСЛЕЂЕ МИХАИЛА ПЕТРОВИЋА АЛАСА И СРПСКА АЛГЕБАРСКА ШКОЛА

АЛГЕБАРСКО НАСЛЕЂЕ МИХАИЛА ПЕТРОВИЋА АЛАСА И СРПСКА АЛГЕБАРСКА ШКОЛА

Mатематика је у 19. веку прошла кроз веома крупне промене. Појава нееуклидских геометрија довела је до ревизије традиционалног концепта математичке истине, а нов начин гледања на алгебру, који су иницирали чланови Британске алгебарске школе, довео је и до новог начина гледања на математичке теорије и математику у целини. Те промене су увеле математику у нову етапу свог развоја, коју А. Н. Колмогоров [3] назива период савремене математике. Међутим, развој математике у Србији имао је сасвим другачији ток. Српска држава се тек обнавља-ла, друштвене институције су биле на самом почетку изградње, а математика, као и наука уопште, била је у повоју. Ипак, како истиче S. Lawrence у [4], за релативно кратко време пређен је пут од стања када је у Србији било мало или нимало мате-матичке културе, на почетку 19. века, до стања када су српски математичари постизали научне резултате светског нивоа и публиковали их у водећим иностра-ним часописима, на крају 19. и почетку 20. века. Огромну захвалност за то српска математика дугује читавој плејади српских математичара тог доба, а понајвише најпознатијем од њих, Михаилу Петровићу Аласу1 (1868–1943).

Формирање државне администрације и друштвених институција у Србији у првој половини 19. века створило је потребу за високо образованим кадровима, што је довело до оснивања Лицеја, прве више школе у Србији. Лицеј је основан 1838. године у Крагујевцу, тадашњој престоници Србије, а када је 1841. године за престоницу проглашен Београд, тамо је премештен и Лицеј. Математика се на Лицеју учила у оквиру предмета ”чиста математика”, на првој години, и практична геометрија (геодезија), на другој години. Први професор математике на Лицеју, а такође и први ректор Лицеја, био је Атанасије Николић (1803–1882), који је студи-рао у Бечу и Будимпешти. Његов главни задатак био је да напише прве високо-школске уџбенике на српском језику, и већ 1838. године штампан је његов убеник ”Алгебра – устројена за употребљењие слишатеља философије у Лицеуму Књажевства Сербије”, док је 1841. године штампан и уџбеник из елементане геометрије [8]. Када се говори о првим високошколским уџбеницима из математике, посебно о убеницима чији садржај задире у алгебру, треба поменути и књиге Емилијана Јосимовића (1823–1897), који је предавао математику на Лицеју и Артиљеријској школи, а касније и на Великој школи. Јосимовић је аутор тротомног дела ”Начела више математике”, првог уџбеника више математике на српском језику. Први том је из штампе изашао 1858. године, други 1860. године, а трећи 1872. године. У дру-гој књизи првог дела обрађују се теме из алгебре – полиноми, алгебарске једна-чине и њихово решавање [6].

Један од кључних момената у развоју високог школства у Србији било је претварање Лицеја у Велику школу, 1863. године. Велика школа састојала се од Филозофског, Техничког и Правног факултета, а све до 1873. године виша математика се изучавала само на Техничком факултету. Те године је у оквиру Филозофског факултета формиран Природно-математички одсек, са Катедром за математику, где су по први пут кренуле студије математике у Србији. Од настанка Велике школе до 1887. године, једини професор математике и на Филозофском и на Техничком факултету био је Димитрије Нешић (1836–1904)2. Он је студирао математику у Бечу и Карлсруеу, и његовим доласком на Велику школу дошло је до квали-тативног скока у настави математике. Извршио је модернизацију високошколске наставе математике и написао веома значајне убенике ”Тригонометрија” (1875), ”Наука о комбинацијама” (1883), ”Алгебарска анализа” (1883) и ”Теорија алгебарских једначина” (1883). Осим тога, био је један од првих српских математичара који су се бавили научним радом. И поред силних обавеза у настави, писању књига и разних других академских и друштвених активности, смогао је времена и снаге да напише седам оригиналних научних радова. Два од тих седам радова су из комбинаторике, математичке дисциплине коју традиционално убрајају у област алгебре.

Предмет математика је 1885. године подељен на вишу и нижу математику. Вишу математику је задржао Димитрије Нешић, док је за нижу математику, изме-ђу више кандидата, 1887. године изабран Богдан Гавриловић3 (1864–1947), који је те 1887. године стекао докторат у области математичких наука на Универзитету у Будимпешти (данас Eötvös Loránd University)4. Тема његове докторске дисертације била је у области теорије функција комплексне променљиве, а касније је, осим у тој области, истраживао и у области алгебре и аналитичке геометрије. У алгебри, Богдана Гавриловића су посебно занимале комбинаторика, теорија бројева и ли-неарна алгебра. Објавио је двадесетак научних радова и две књиге: “Аналитичка геометрија” (1896) и “Теорија детерминаната” (1899). Међутим, математика није била једина област интересовања Богдана Гавриловића. Писао је и расправе које су се тицале филозофије, историје, језика, образовања, културе и политике. Обав-љао је и важне административне дужности. Између осталог, био је декан Технич-ког факултета (1909–1910), ректор Београдског универзитета (1910–1913, 1921–1924) и председник Академије наука (1931–1937).

Када 1894. године Димитрије Нешић одлази у пензију, на његово место, такође између више кандидата, изабран је Михаило Петровић, који је те исте године стекао докторат из математичких наука на Универзитету Париз IV – Сорбона, под менторством чувених математичара Шарла Ермита (Charles Hermite, 1822–1901) и Шарла Емила Пикара (Charles Émile Picard, 1856–1941), и са Полом Пенлевеом (Paul Painlevé, 1863–1933), као чланом комисије. На студијама у Паризу учио је и од Анрија Поенкареа (Jules Henri Poincaré, 1854–1912), једног од највеђих математи-чара тог доба. Исте 1894. године се издваја настава математике за студенте Тех-ничког факултета, коју преузима Богдан Гавриловић, док Михаило Петровић остаје на Филозофском факултету. Од тада, па све до Другог светског рата, тандем Петровић–Гавриловић игра главну улогу у развоју математике у Србији. Године 1894. оснива се и библиотека Математичког семинара, о којој све до првог светског рата брину Гавриловић и Петровић, а 1900. године оснива се Семинар за математику, механику и теоријску физику, где њих двојица такође играју главну улогу. Велика школа се 1905. године трансформише у универзитет, и њих двојица добијају водећу улогу у организацији научног рада и наставе на новооснованом универзитету. На њихов предлог, Београдски универзитет из Беча позива Милутина Миланковића (1879–1958), још једно име које ће прославити српску науку, и он 1909. годи-не постаје професор примењене математике.

По општем мишљењу, Михаило Петровић и Богдан Гавриловић су поставили темељ српске математичке школе. Међутим, са аспекта научног рада и развоја науке мора се посебно нагласити улога Михаила Петровића. Он је био први српски математичар који је постизао резултате светског нивоа и објављивао у угледним иностраним часописима (углавном на француском језику). До 1905. године већ је имао 60 објављених научних радова5 и стекао је завидан углед у свету. Младим сарадницима је давао подстрека за научни рад, али је поставио строге научне кри-теријуме и од ученика захтевао да их испуне. То је довело до знатног подизања ни-воа научног рада српских математичара и ствара се нова генерација српских мате-матичара који и сами постижу врхунске научне резултате. Према Јовану Кечкићу, у периоду од 1912. до 1938. године Михаило Петровић је био ментор 11 докторских дисертација. Штавише, готово сви математички докторати у Србији пре Другог светског рата били су рађени под његовим менторством. Јован Кечкић у [2] пише: “Петровићев утицај на развој математике у Србији био је огроман а његов успех у стварању научних и наставних кадрова изванредан. Када је 1894. године постао професор Велике школе, он је на Филозофском факултету био сам. Када је 1938. Gо-дине отишао у пензију иза себе је оставио “кошницу научног рада” како је написано у “Политици” од 8. маја 1938. у репортажи посвећеној Михаилу Петровићу. Сигурно је да би његови ученици са много више успеха наставили да развијају београдску школу да нису крајем четрдесетих година “политички комесари” онога доба почели да спроводе нову кадровску политику.”

Спроводиоци тадашњe кадровске политике ипак нису успели да битно омету развој математике у Србији. Михаило Петровић је преминуо 1943. године, али они његови ученици који су остали у земљи након рата настављају рад на развоју математике. Већ 1946. године је основан Математички институт САНУ, који постаје епицентар математичких истраживања у Србији, а 1948. године је формирано Друштво математичара и физичара Србије, чији је оснивач и први председник био Тадија Пејовић (1892–1982), један од доктораната Михаила Петровића. Педесетих и шездесетих година оснивају се бројни факултети у Новом Саду, Нишу, Крагујевцу и Приштини, најпре као одељења Универзитета у Београду, а потом из њих израстају универзитети у Новом Саду (1960), Нишу (1965), Приштини (1969) и Крагујевцу (1976). Студије математике покрећу се у Новом Саду (1954), Приштини (1960), Нишу (1971) и Крагујевцу (1972). Значајну помоћ у креирању студијских програма, извођењу наставе и обезбеђењу наставног и научног подмлатка пружају професори са Универзитета у Београду. Држава подстиче повеђање броја факул-тетски образованих људи, услед чега долази до раста броја студената и јавља се потреба за новим наставницима и асистентима. Наставни планови и програми се иновирају, уводе се нови предмети и садржаји из модерних области математике, мада на рачун смањења садржаја из сродних наука и удаљавања од механике, теоријске физике и астрономије. Све то доводи и до ширења области научног интересовања српских математичара, и почев од педесетих година двадесетог века наука у Србији почиње да се обогаћује новим, модерним математичким дисциплинама.

До друге половине 20. века малобројни српски математичари су се бавили истраживањима у области алгебре. Већ је речено да су научне радове у областима које се традиционално убрајају у алгебру имали само Димитрије Нешић и Богдан Гавриловић. Михаило Петровић је један број својих радова посветио алгебарским једначинама, али је у њима користио искључиво идеје и методе математичке анализе. Исто важи и за докторску дисертацију Драгољуба Марковића (1903–1965) “Границе корена алгебарских једначина”, која је урађена под менторством Михаила Петровића и одбрањена 1938. године у Београду. Прва докторска дисертација срп-ског математичара, за коју се без резерве може рећи да је из области алгебре, је дисертација Мирка Стојаковића (1915-1985). Назив дисертације је био ”Прилог теорији матрица”, урађена је под менторством Ђуре Курепе и одбрањена 1953. го-дине у Загребу. Тих година у неколико математичких центара тадашње Југослави-је продиру и идеје савремене апстрактне алгебре. Тако 1956. године Владимир Девиде (1925–2010) у Загребу брани докторску дисертацију под називом ”Једна класа групоида”, а Ђорђи Чупона (1930–2009) 1959. године у Скопљу брани докторску дисертацију која се бави алгебарским структурама, урађену под менторством Владимира Девидеа. Ширење идеја савремене алгебре у Београду је започео напред поменути Драгољуб Марковић [7]. На студијама математике у Београду, све до педесетих година 20. века, алгебра се није слушала као посебан предмет. Теме из класичне алгебре биле су укључене у садржаје општих курсева математике, а касније у садржај предмета Анализа. У наставном плану из 1952. године, на иницијативу Драгољуба Марковића, као посебни предмети се уводе Алгебра, са темама из класичне алгебре, и Алгебра II, са темама из савремене алгебре (групе, поља и теорија Галоа). Предмет Алгебра II је предавао Драгољуб Марковић, а један од студената које су та његова предавања привукла ка савременој алгебри био је Славиша Прешић (1933–2008). Он је 1963. године у Београду одбранио прву докторску дисертацију у Србији са темом из модерне алгебре, под називом ”Прилог теорији алгебарских структура”. Ментор ове дисертације био је Тадија Пејовић, а члан комисије за одбрану био је и Драгољуб Марковић. Нешто касније, 1966. године, још један српски алгебриста, Веселин Перић (1930–2009), одбранио је у Загребу докторску дисертацију ”Прилог теорији идеала”, под менторством Ђуре Курепе. Овде треба рећи да се у развоју алгебре у Србији условно могу разликовати две главне ли-није6. Бројнија линија, коју чине академски потомци Михаила Петровића7, преко Т. Пејовића и С. Прешића, углавном је развијала модерну алгебру, односно алгебарске структуре. Другу линију су чинили академски потомци Ђуре Курепе, који су се превасходно бавили проблемима сродним онима из класичних алгебарских дисциплина, мада је и ту било оних који су се бавили алгебарским структурама.

Развој савремене алгебре у Србији се интензивирао 1970тих година, а главну улогу у њеном развоју у том периоду одиграо је Славиша Прешић8. Иако се касније окренуо ка развоју математичке логике, крајем 1960-тих је формирао групу алгебриста која се бавила теоријом квазигрупа, и почетком 1970-тих у тој области докторске дисертације бране Јанез Ушан (1971), Светозар Милић (1972) и Бранка Алимпић (1973), под менторством С. Прешића, Зоран Стојаковић (1974), под менторством С. Милића, и Александар Крапеж (1980), под менторством Б. Алимпић. Под менторством С. Прешића бране се и дисертације Наташе Божовић (1975), са темом из теорије група, и Жарка Мијајловића (1977), са темом из теорије модела и Булових алгебри. Значајно место у развоју алгебре 1970тих година имао је и Ђуро Курепа, под чијим менторством је у том периоду урађено пет докторских дисертација, које су се претежно бавиле класичним алгебарским темама. То су дисертације Драгомира Симеуновића (1969) и Марице Прешић (1972), које су се бавиле коренима полинома, Александра Ивића (1975) и Зорана Шамија (1978), из теорије бројева, и дисертација Ратка Тошића (1978), која се бавила Буловим алгебрама.

До великих промена у српској алгебри долази 1980-тих година. После пери-ода апсолутне доминације Београда, који је био центар научних истраживања у области алгебре и где су до тада брањене све докторске дисертације у Србији из те области, примат у развоју алгебре преузима Нови Сад. Највеће заслуге за то има Светозар Милић (1934–2008), за кога се може слободно рећи да је родоначелник Српске алгебарске школе. Милић 1974. године прелази на Природно-математички факултет у Новом Саду, где окупља групу млађих колега, уводи их у проблемe савремене алгебре и научни рад тој области. Под његовим менторством се у Новом Саду бране дисертације Стојана Богдановића (1980) и Синише Црвенковића (1981), са темама из теорије полугрупа, и Бранимира Шешеље (1981), са темом из универзалне алгебре. То су биле прве докторске дисертације у Србији у области алгебре одбрањене ван Београда. На тај начин је на Природно-математичком факултету Новом Саду формирана у то доба најјача група алгебриста у Србији, Новосадска алгебарска школа, коју су 1980-тих година чинили Светозар Милић, Стојан Богдановић, Синиша Црвенковић, Бранимир Шешеља, Јанез Ушан, Зоран Стојаковић, Градимир Војводић и Ђура Паунић. До 1980. године, алгебристи у Србији су се највише бавили теоријом квазигрупа, а 1980-тих главна област научног интересовања српских алгебриста постаје теорија полугрупа, и то остаје све до краја 1990-тих. Осим већ поменутих докторских дисертација Богдановића и Црвенковића, у Новом Саду и Београду се осамдесетих брани још шест докторских дисертација и публикује се велики број радова са темама из теорије полугрупа. У Београду осамдесетих докторирају и Гојко Калајџић (1982), у области теорије прстена, под мен-торством Ђ. Курепе, и Александар Липковски (1985), у области алгебарске геометрије и комутативне алгебре, под менторством Ђ. Курепе и В. Перића, а у Новом Саду докторске дисертације бране Ђура Паунић (1987), у области алгебарских n-арних структура, под менторством З. Стојаковића, и Розалија Мадарас (1989), у области универзалне алгебре, под менторством С. Црвенковића.

После Београда и Новог Сада, осамдесетих година почиње развој алгебре и у Нишу. Родоначелник алгебре у Нишу је Стојан Богдановић (1944–), у то време доцент на Природно-математичком факултету у Новом Саду, који је 1982. године ангажован за извођење наставе из предмета Алгебра I за студенте математике на Филозофском факултету у Нишу. По доласку у Ниш, он са Владимиром Ракочевићем покреће Семинар за теорију полугрупа и функционалне једначине, који је касније подељен на два семинара, један за теорију полугрупа, а други за функционалну анализу. Око Семинара за теорију полугрупа Богдановић окупља групу нишких математичара и ствара Нишку алгебарску школу, у свету познату као Нишка школа за теорију полугрупа.

Упркос великој друштвеној и економској кризи, деведесетих година је научна продукција српских алгебриста значајно порасла, и за разлику од претходних деценија, када се објављивало углавном у домаћим часописима, деведесетих долази до наглог пораста броја радова објављених у угледним међународним часопи-сима. Посебно велику научну продукцију су у то време имали нишки алгебристи, који су тада преузели водеће место у српској алгебри. Тих година на научну сцену ступају и нека нова лица, који ће у годинама које следе водити алгебру у Србији. У Нишу научну каријеру почиње Мирослав Ћирић (1964–), који 1991. године у Београду брани докторску дисертацију из области теорије полугрупа, под менторством С. Богдановића. У Новом Саду, докторску дисертацију из теорије мрежа, под менторством С. Милића, 1993. године брани Андреја Тепавчевић (1964–), а 1999. године докторску дисертацију са темом из универзалне алгебре, под менторством Р. Тошића, брани Драган Машуловић (1969–). Зоран Петровић (1965–) из Београда одлази на докторске студије у Балтимор, САД, где је 1996. докторирао у области теорије матрица и алгебарске топологије, након чега се вратио на Математички факултет у Београду. Подмлађивање Српске алгебарске школе није се завршило на томе, јер су нове наде српске алгебре стизале и наредне деценије. У Новом Саду, 2000. године Игор Долинка (1973–) брани дисертацију чија тема су примене уни-верзалне алгебре у теорији формалних језика, под менторством С. Црвенковића, а из Сједињених америчких држава се враћа Петар Марковић (1974–), који је 2003. године на Вандербилт универзитету докторирао са темом из универзалне алгебре, под менторством Р. Мекензија. У Нишу на научну сцену ступа Јелена Игњатовић (1973–), која је 2007. године, под менторством М. Ћирића, одбранила дисертацију која се бавила фази релацијским системима и њиховим применама у алгебарској теорији аутомата, а исте године у Београду Бранко Малешевић (1965–) брани дисертацију у области теорије поља, под менторством Ж. Мијајловића.

Заслугом свих оних који су овде поменути, али и још многих других које није било могуће поменути у овако кратком тексту, алгебра у Србији је последњих педесет година доживела свој пуни развој, а српски алгебристи су последњих деценија својим резултатима досегли сам светски брх. После великог скока у броју публикованих радова српских алгебриста, до којег је дошло осамдесетих и деведесетих година, тај број и даље бележи умерен раст9, при чему се публикује у све квалитетнијим часописима. Од самог почетка развоја алгебре у Србији, шездесетих година, по броју публикованих радова предњаче новосадски алгебристи, а прате их алгебристи из Ниша и Београда. Након квазигрупа, које су биле доминантна тема истраживања српских алгебриста 1960-тих и 1970-тих, и полугрупа, које су то биле 1980-тих и 1990-тих, деведесетих година су српски алгебристи значајно проширили своје области научног интересовања. У Новом Саду су пажњу привукли општи алгебарски системи (универзална алгебра), мреже и алгебарски аспекти теорије фази скупова, и заједно са полугрупама су постали доминантне теме новосадских алгебриста у последњих двадесет година. У Нишу је средином деве-десетих направљен блажи, а средином 2000-тих још оштрији заокрет од теорије полугрупа ка рачунарским наукама, и последњих десетак година главни предмет интересовања нишких алгебриста постају релацијски и матрични рачун, а системи релацијских и матричних неједначина и једначина се користе у решавању фунда-менталних проблема теорије аутомата и анализе социјалних мрежа. Београдски алгебристи у новије време постижу изузетне резултате у теорији поља, комута-тивној алгебри, алгебарској геометрији и теорији матрица. Од 1963. године, у Србији је одбрањено 94 докторских дисертација са темама из области алгебре10, од чега 45 у Београду, 31 у Новом Саду, 15 у Нишу и 3 у Приштини11.

Библиографија

[1] Б. Јовановић, Ј. Петковић. Димитрије Нешић (1836–1904). У: Живот и дело српских научника, Књига 3, М. Р. Сарић (ур.), Српска Академија Наука и Уметности, Београд, 1998, стр. 1–32.

[2] Ј. Кечкић. Михаило Петровић Алас (1868–1943). У: Живот и дело српских научника, Књ. 2, М. Р. Сарић (ур.), Српска Академија Наука и Уметности, Београд, 1997, стр. 325–370.

[3] А. Н. Колмогоров. Математика. У: Математический энциклопедический словарь, Ю. В. Прохоров (гл. ред.), Советская энциклопедия, Москва, 1988, стр. 7–38.

[4] S. Lawrence. A Balkan trilogy: mathematics in the Balkans before World War I. In: E. Robson and J. Stedall (eds.), The Oxford Handbook of The History of Mathematics, Oxford University Press, Oxford, 2009, chap. 2.4.

[5] Ж. Мијајловић. Богдан Гавриловић (1863–1947). У: Живот и дело српских научника, Књ. 2, М. Р. Сарић (ур.), Српска Академија Наука и Уметности, Београд, 1997, стр. 71–103.

[6] М. Ђ. Паунић. Емилијан Јосимовић (1823–1897). У: Споменица: 125 година Математич-ког факултета, Н. Бокан (ур.), Математички факултет, Београд, 1998, стр. 197–202.

[7] С. Прешић. Драгољуб Марковић (1903–1965). У: Споменица: 125 година Математичког факултета, Н. Бокан (ед.), Математички факултет, Београд, 1998, 221–223

[8] Р. Сарић, З. Сарић. Атанасије Николић (1803–1882). У: Живот и дело српских научника, Књ. 7, М. Р. Сарић (ур.), Српска Академија Наука и Уметности, Београд, 2001, стр. 1–28.

________________________________________________

1 Више о Михаилу Петровићу Аласу може се наћи у чланку Ј. Кечкића [2].

2 О Димитрију Нешићу су писали Б. Јовановић и Ј. Петковић у [1], па овде наводимо само неке основне детаље.

3 О Богдану Гавриловићу пише Ж. Мијајловић у [5].

4 Илустрације ради, споменимо да је у 19. веку било само шест математичара српског порекла који су стекли звање доктора математичких наука: Димитрије Данић (Јена, 1885), Богдан Гавриловић (Будимпешта, 1887), Владимир Варићак (Загреб, 1891), Ђорђе Петковић (Беч, 1893), Михаило Петровић (Париз, 1894) и Петар Вукићевић (Берлин, 1894).

5 У бази Zentralblatt MATH индексиране су 232 публикације Михаила Петровића (укључујући и 12 књига).

6 Одредба условно стоји јер две поменуте линије нису биле међусобно изоловане. Напротив, оне су одувек имале велики утицај једна на другу.

7 Термин “академски потомaк” овде има исто значење као “descendant” у Mathematics Genealogy Project.

8 Славиша Прешић је највећи допринос дао развоју математичке логике у Србији и сматра се родоначелником Српске логичке школе. Био је ментор 14 докторских дисертација одбрањених на Универзитету у Београду.

9 Анализа броја радова урађена је на основу података из базе Zentralblatt MATH (zbMATH).

10 Највећи број тих дисертација се бавио теоријом полугрупа (15), општим алгебарским системима (14), кому-тативном алгебром (9), релацијским системима (9), квазигрупама, теоријом матрица и алгебарским аспекти-ма теорије фази скупова (по 6), итд.

11 Занимљиво је приметити да су у области алгебре 1960-тих одбрањене 2 дисертације, 1970-тих 10, 1980-тих тај број скаче на 23, да би 1990-тих пао на само 8, потом је 2000-тих порастао на 17, а 2010-тих опет долази до великог скока на 34.

 

 

 

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *